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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
peut s’écrire
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\left(\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\xi _{1}'}}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\eta _{1}'}}+\xi _{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\xi _{2}'}}+\eta _{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\eta _{2}'}}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eab8a13c9181ccaa6eb94545bcadd342a2ff95f)
Sous cette forme, on voit aisément que le dénominateur est holomorphe
par rapport aux
aux
et à
Or, pour
se
réduit à
![{\displaystyle {\frac {2}{(x_{1}'+x_{2}')^{2}}}+{\frac {x_{2}'-x_{1}'}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2fc3db8e4c59bc9fee2cab9cf32121bfcb2326)
et il est aisé de vérifier que le dénominateur est toujours positif.
Il l’est donc encore pour les petites valeurs de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
394.Dans ce qui va suivre, nous adopterons donc les variables
définies au numéro précédent. Nous supprimerons d’ailleurs les
accents devenus inutiles et nous écrirons
et
au lieu de
et
Nous avons alors l’invariant intégral (au sens du no 305),
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}}{\mathrm {D} }}{\frac {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{x_{1}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}+x_{2}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa548efcfc6c6778eedceabee03698f2aa5c94b)
ou
![{\displaystyle \mathrm {D} =\left[(\mathrm {X} -1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\left[(\mathrm {X} +1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301dd51f7aa8e24671cb0370f6857fadde74c993)
J’observerai d’abord que cet invariant intégral, toujours positif,
reste fini quand on l’étend au demi-plan tout entier.
En effet, si
est un infiniment petit du premier
ordre, le numérateur
est un infiniment petit du
second ordre et il en est de même de
Si
est un
infiniment grand du premier ordre, le numérateur reste fini,
tandis que
est très grand du quatrième ordre. Toutes les autres
quantités restent finies.
J’appellerai
la valeur de l’invariant
étendue au demi-plan
tout entier.
Ce qui caractérise les solutions périodiques et les courbes trajectoires
qui les représentent, c’est que ces courbes coupent le
demi-plan en des points dont les conséquents successifs sont en
nombre fini ; reportons-nous, par exemple, au no 312 et, en particulier,
à la fig. 7 de la page 194.