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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
opposés 
et 
doivent se couper. Soit 
l’un des points
d’intersection de ces deux arcs. Remarquons que le point 
a été
choisi arbitrairement sur la courbe asymptotique 
si l’on met
le point 
au point lui-même, ce point se trouvera aussi
sur la courbe 
et coïncidera avec le point 
Si les deux
points et coïncident, il en sera de même de leurs cinquièmes
conséquents 
et 
Le quadrilatère 
se réduira donc à la figure formée
par deux arcs de courbe ayant mêmes extrémités. Cette figure ne
peut être convexe puisque l’invariant intégral étendu au quadrilatère
doit être nul. Il faut donc que les deux arcs et
aient d’autres points communs que leurs extrémités.
Il y aura donc au moins deux points d’intersection distincts
(en ne regardant pas comme distincts un point et un quelconque
de ses conséquents).
Il y aura donc toujours au moins deux solutions doublement
asymptotiques.
Supposons donc que les points et coïncident et prolongeons
les arcs et jusqu’à leur premier point de rencontre
en 
Nous aurons ainsi déterminé une aire qui cette fois
sera convexe (au point de vue de l’Analysis situs) et qui sera
limitée par deux arcs faisant partie respectivement des deux arcs
et et ayant mêmes extrémités, à savoir 
et
Soit 
cette aire et 
sa 
ième conséquente ; l’aire sera évidemment
comme convexe et limitée par deux arcs de courbe,
l’un de la première, l’autre de la deuxième famille.
L’intégrale 
aura même valeur pour et 
Soit 
cette valeur.
Comme la valeur 
de l’invariant intégral pour le demi-plan
entier est finie, on verrait, en raisonnant comme au no 291, que, si
l’aire aura une partie commune au moins avec 
des aires
et comme ne peut être pris aussi grand que l’on veut, je puis
énoncer le résultat suivant :
Parmi les aires 
il y en a une infinité qui ont une partie
commune avec 
