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CHAPITRE XXXIII.

courbes ont deux ou plusieurs points doubles. C’est alors en effet que nous rencontrerons les solutions hétéroclines.

Cherchons comme au n^o 225 à former la fonction $\mathrm {S}$ de Jacobi et posons

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}+\varepsilon ^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots .$

La fonction $\mathrm {S} _{0}$ se forme immédiatement ; nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}&=p,&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}&=q,&\mathrm {S} _{0}&=px+\int q\,dy,\end{aligned}}$

$q$ étant une fonction de $y$ définie par l’équation (1) et dépendant des deux paramètres $p$ et $h.$

On trouve ensuite

(2)

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dq}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy}}+\mathrm {F} _{1}=0.$

Dans ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}},\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dq}}$ et $\mathrm {F} _{1},$ on regarde $p$ comme une constante et l’on remplace $q$ par sa valeur tirée de l’équation (1). L’équation (2) est donc une équation linéaire par rapport aux dérivées de $\mathrm {S} _{1}$ dont les coefficients sont des fonctions données de $x$ et de $y,$ dépendant en outre des paramètres $h$ et $p.$

Comme $\mathrm {F} _{1}$ est périodique en $x,$ je poserai

$\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\Phi _{m}e^{imx},$

où $\Phi _{m}$ de même que les dérivées de $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendent que de $y.$

Je pose de même

$\sigma _{1}={\textstyle \sum }\,y_{m}e^{imx}$

et la fonction $\psi _{m}$ sera donnée par l’équation

(3)

$im\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}\,\psi _{m}+{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dq}}{\frac {d\psi _{m}}{dy}}+\Phi _{m}=0$

dont les coefficients sont des fonctions données de $y.$

Cette équation peut évidemment s’intégrer par quadratures.

Cherchons à déterminer de cette manière nos surfaces asymptotiques. Nous devrons d’abord choisir les constantes $h$ et $p$ de telle sorte que la courbe (1) ait un point double ; je supposerai de plus que ces constantes soient telles qu’à chaque valeur de $y$ correspondent deux valeurs réelles de $q$ (c’est ce qui arrive dans l’exemple du n^o 225).