Ces deux valeurs de sont des fonctions périodiques de qui deviennent égales entre elles au point double, soit par exemple pour
Nous pouvons également, comme nous l’avons fait au no 225, considérer ces deux valeurs de comme la continuation analytique l’une de l’autre.
La fonction nous apparaît alors comme uniforme en et périodique de période à la façon de
Cette fonction uniforme prendra la même valeur pour et
Si au lieu d’un point double, on en avait plusieurs, nous pourrions encore regarder comme une fonction uniforme de de période si le nombre des points doubles était impair. Si au contraire ce nombre était pair, nous aurions pour deux valeurs qui ne s’échangeraient pas entre elles quand augmenterait de et qu’on pourrait par conséquent regarder comme deux fonctions uniformes distinctes de ayant pour période
Nous supposerons pour fixer les idées que nous avons deux points doubles correspondant aux valeurs et de
Il résulte de là que, pour et pour l’équation (1) doit avoir une racine double puisque les deux valeurs de se confondent et par conséquent que doit s’annuler.
L’équation (3) est une équation linéaire à second membre dont l’intégration se ramène à celle de l’équation sans second membre et par conséquent à celle de l’équation
| (4) |
d’où
La fonction ainsi définie est une fonction holomorphe de pour toutes les valeurs réelles de cette variable sauf pour les valeurs qui correspondent aux points doubles. Pour ces valeurs la fonction qui joue un rôle analogue à celui de au no 226, devient nulle ou infinie.
