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CHAPITRE XXIII.

$\Delta$ étant le jacobien ou déterminant fonctionnel des $x$ par rapport aux $\alpha \,;$ on aura alors

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int {\frac {d\mathrm {M} \,\Delta }{dt}}\,d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\,\ldots \,d\alpha _{n}.$

Or

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {M} \,\Delta }{dt}}&=\mathrm {M} \,{\frac {d\Delta }{dt}}+\Delta \,{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}\,;\\{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {X} _{i}\,{\frac {d\mathrm {M} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

D’autre part,

$\Delta =\left|{\frac {dx_{1}}{d\alpha _{1}}},{\frac {dx_{2}}{d\alpha _{1}}},\ldots ,{\frac {dx_{n}}{d\alpha _{1}}}\right|\cdot$

Je n’écris que la première ligne de ce déterminant ; les autres s’en déduiraient en changeant $\alpha _{1}$ en $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},\,\ldots ,\,\alpha _{n}.$

Donc $\Delta +dt\,{\frac {d\Delta }{dt}}$ devra être le jacobien des

$x_{i}+dt\,{\frac {dx_{i}}{dt}}=x_{i}+\mathrm {X} _{i}\,dt$

par rapport aux $\alpha \,;$ ce sera le produit du jacobien des $x_{i}$ par rapport aux $\alpha ,$ c’est-à-dire de $\Delta ,$ par le jacobien des $x_{i}+\mathrm {X} _{i}\,dt$ par rapport aux $x_{i}$ que j’appellerai $\mathrm {D} \,;$ j’écris

$\Delta +dt\,{\frac {d\Delta }{dt}}=\Delta .\mathrm {D} .$

Or, le jacobien $\mathrm {D}$ est facile à former ; les éléments de la diagonale principale sont finis, celui qui appartient à la $i$^ième ligne et à la $i$^ième colonne s’écrit

$1+dt\,{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{i}}}\cdot$

Les autres éléments sont infiniment petits ; celui qui appartient à la $i$^ième ligne et à la $k$^ième colonne $(i\gtrless k)$ s’écrit

$dt\,{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\cdot$

Il résulte de là qu’en négligeant les termes de l’ordre de $dt^{2},$ on aura

$\mathrm {D} =1+dt\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{i}}},$