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FORMATION DES INVARIANTS.

quels que soient les $x,$ le serait quand on remplacerait les $x$ par des fonctions convenablement choisies de $t$, à savoir par celles de ces fonctions qui correspondent à une solution particulière.

J’appellerai singulière toute solution particulière pour laquelle cette circonstance se produira.

Cela posé, deux cas peuvent se présenter.

Ou bien les solutions périodiques des équations (1) sont toutes singulières.

Ou bien elles ne sont pas toutes singulières.

258.Considérons une solution singulière $\mathrm {S} .$

Soit

$\beta _{1}\mathrm {B} _{k,1}+\beta _{2}\mathrm {B} _{k,2}+\ldots +\beta _{q}\mathrm {B} _{k,q}=\mathrm {B} _{k},$

d’où

$\mathrm {B} _{1}\xi _{1}+\mathrm {B} _{2}\xi _{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n}\xi _{n}=\beta _{1}\mathrm {H} _{1}+\beta _{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots +\beta _{q}\mathrm {H} _{q}.$

Comme la relation (6) n’est pas identiquement vérifiée on n’a pas identiquement

(7)

$\mathrm {B} _{1}=\mathrm {B} _{2}=\ldots =\mathrm {B} _{n}=0,$

mais comme la relation (6) doit être vérifiée par la solution $\mathrm {S} ,$ ces relations (7) (qui d’après nos hypothèses sont algébriques) devront être satisfaites pour les valeurs des $x$ qui correspondent à la solution $\mathrm {S} .$

Soit maintenant

$\mathrm {B} _{i}'=\mathrm {X} _{1}{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dx_{1}}}+\mathrm {X} _{2}{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dx_{2}}}+\ldots +\mathrm {X} _{n}{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dx_{n}}},$

puis

$\mathrm {B} _{i}''=\mathrm {X} _{1}{\frac {d\mathrm {B} _{i}'}{dx_{1}}}+\mathrm {X} _{2}{\frac {d\mathrm {B} _{i}'}{dx_{2}}}+\ldots +\mathrm {X} _{n}{\frac {d\mathrm {B} _{i}'}{dx_{n}}},\qquad \ldots .$

La solution $\mathrm {S}$ devra évidemment satisfaire aux relations

(7 bis)

$\mathrm {B} _{i}'=0\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),$

puis aux relations

(7 ter)

$\mathrm {B} _{i}''=0\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

et ainsi de suite.

Nous formerons donc successivement les relations (7), (7 bis), (7 ter), etc. et nous nous arrêterons quand nous serons arrivés à