Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/62

50

CHAPITRE XXIII.

Comment cela pourra-t-il se faire ?

Soient

$\mathrm {H} _{i}=\mathrm {B} _{1i}\xi _{1}+\mathrm {B} _{2i}\xi _{2}+\ldots +\mathrm {B} _{ni}\xi _{n}=\mathrm {const.} \quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,q)$

ces $q$ intégrales linéaires, où les $\mathrm {B}$ seront des fonctions algébriques des $x$ et qui correspondront à $q$ invariants intégraux de la forme (3).

Elles sont distinctes, c’est-à-dire qu’il n’y a pas entre elles de relations identiques de la forme

(6)

$\beta _{1}\mathrm {H} _{1}+\beta _{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots +\beta _{q}\mathrm {H} _{q}=0,$

où les coefficients $\beta$ sont des constantes et qu’il n’y en a pas non plus de la forme

(6 bis)

$\psi _{1}\mathrm {H} _{1}+\psi _{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots +\psi _{q}\mathrm {H} _{q}=0,$

les $\psi$ étant des intégrales des équations (1).

Est-il possible alors qu’il y ait entre elles une relation de la forme

(6 ter)

$\varphi _{1}\mathrm {H} _{1}+\varphi _{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots +\varphi _{q}\mathrm {H} _{q}=0,$

les $\varphi$ étant fonctions quelconques des $x$ seulement. D’après le n^o 250, si une pareille relation avait lieu, les rapports des fonctions $\varphi$ devraient être des intégrales des équations (1).

Nous aurions donc

${\frac {\varphi _{1}}{\psi _{1}}}={\frac {\varphi _{2}}{\psi _{2}}}=\ldots ={\frac {\varphi _{q}}{\psi _{q}}},$

les $\psi$ étant des intégrales et par conséquent

$\psi _{1}\mathrm {H} _{1}+\psi _{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots +\psi _{q}\mathrm {H} _{q}=0,$

ce qui est contraire à l’hypothèse.

Il ne peut donc pas y avoir entre les $\mathrm {H} _{i}$ de relation identique de la forme (6 ter).

Mais si l’on donnait aux $x$ les valeurs qui correspondent à une solution particulière périodique ou non, il pourrait arriver que le premier membre de (6) s’annulât identiquement. Il arriverait alors que l’équation (6), qui n’est pas satisfaite identiquement