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FORMATION DES INVARIANTS.

pourra écrire les équations (5) correspondantes sous la forme

(10)

$\mathrm {P} _{k}={\textstyle \sum }_{i}\xi _{i}\theta _{ik},$

$\mathrm {P} _{k}$ désignant un polynôme entier par rapport à $t,$ ayant pour coefficients des constantes.

Ces polynômes sont de degré $q-1$ au plus ; et, pour préciser davantage, ces polynômes sont au nombre de $q\,;$ le premier se réduit à une constante, le second est de degré un au plus, le troisième de degré deux au plus, et ainsi de suite, et enfin, le dernier de degré $q-1$ au plus.

Dans le cas où le degré de ce dernier polynôme atteint son maximum et est égal à $q-1,$ l’avant-dernier polynôme est la dérivée du dernier, le $q-2$^e la dérivée du $q-1$^e et ainsi de suite.

Dans tous les cas, on peut répartir les $q$ polynômes en plusieurs groupes ; dans chaque groupe, le premier polynôme se réduit à une constante et chacun d’eux est la dérivée du suivant.

Pour qu’il existe $p$ invariants intégraux linéaires, il ne suffit donc pas que $p$ des exposants caractéristiques soient nuls ; il faut encore que $p$ des polynômes Ph se réduisent à des constantes (ou, ce qui revient au même, que ces polynômes se répartissent au moins en $p$ groupes).

Quelle est alors, au point de vue qui nous occupe, la signification des équations (10) où $\mathrm {P} _{k}$ ne se réduit pas à une constante ?

Nous avons au n^o 216 défini un invariant intégral dont le rôle est très important. Cet invariant est de la forme

$\int \mathrm {F} +t\int \mathrm {F} _{1},$

$\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ étant des fonctions algébriques par rapport aux $x,$ et linéaires par rapport aux différentielles $dx.$

Un pareil invariant correspond à une intégrale des équations (2) de la forme suivante

$\mathrm {F} +t\,\mathrm {F} _{1}=\mathrm {const.} ,$

où $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}$ sont des fonctions algébriques par rapport aux $x$ et linéaires par rapport aux $\xi .$

Si dans cette intégrale, je remplace les $x$ par les valeurs qui