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FORMATION DES INVARIANTS.

précédente n’exclut pas la possibilité, n’existent pas ; mais pour le démontrer, il faudrait recourir à d’autres procédés, par exemple à des procédés analogues à la méthode de Bruns.

Emploi des variables képlériennes.

261.L’invariant de la quatrième sorte du n^o 256 peut encore être mis sous une autre forme.

Soit un système quelconque d’équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Considérons l’intégrale suivante prise le long d’un arc de courbe quelconque

$\mathrm {J} =\int (x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}+\ldots +x_{n}\,dy_{n}).$

Supposons que l’on écrive les équations de l’arc de courbe le long duquel on intègre en exprimant les $x$ et les $y$ en fonction d’un paramètre $\alpha$ et que les valeurs de ce paramètre qui correspondent aux extrémités de l’arc soient $\alpha _{0}$ et $\alpha _{1}.$ L’intégrale $\mathrm {J}$ sera égale à

$\mathrm {J} =\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{1}}\left[{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {dy}{d\alpha }}\right]d\alpha .$

Supposons que nous considérions notre arc de courbe comme la figure $\mathrm {F}$ du Chapitre précédent qui varie avec le temps et se réduit à $\mathrm {F} _{0}$ pour $t=0.$

Alors les $x,$ les $y$ et les fonctions des $x$ et des $y,$ telles que $\mathrm {F} ,$ ${\frac {d\mathrm {F} }{dx}},$ ${\frac {d\mathrm {F} }{dy}},\,\ldots$ seront des fonctions de $\alpha$ et de $t.$

Il viendra

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \left[\sum {\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{d\alpha }}\right]d\alpha +\int \left[{\textstyle \sum }\,x{\frac {d^{2}y}{dt\,d\alpha }}\right]d\alpha$

ou

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \left[\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}{\frac {dy}{d\alpha }}\right]d\alpha -\int \left[{\textstyle \sum }\,{\frac {d}{d\alpha }}\!\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\right)\right]d\alpha$

en intégrant par parties

${\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \left[\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}{\frac {dy}{d\alpha }}\right]d\alpha +\int \left[\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}{\frac {dx}{d\alpha }}\right]d\alpha -\left[{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\right]\cdot$