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CHAPITRE XXIII.

ou $n$ invariants de la quatrième sorte

$\int \mathrm {F} _{1},\quad \int \mathrm {F} _{2},\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{n}\qquad (\mathrm {F} _{i}=\mathrm {F} _{i}'+t\,\mathrm {F} _{i}''),$

quand il y aura entre $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},\,\ldots$ $\mathrm {F} _{n}$ une relation identique de la forme

$\Phi _{1}\mathrm {F} _{1}+\Phi _{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots +\Phi _{n}\mathrm {F} _{n}=0,$

$\Phi _{1},\,\Phi _{2},\,\ldots ,\,\Phi _{n}$ étant des intégrales des équations (1).

Il est clair d’abord qu’il ne pourra pas y avoir plus de quatre invariants de la première sorte, autant que d’équations (10 bis). Ces quatre invariants sont déjà connus.

Il ne pourra pas y avoir plus de treize invariants de la seconde sorte, dont trois proviendraient des trois couples d’équations de la forme (5 bis), (5 ter) et les dix autres s’obtiendraient à l’aide des carrés des quatre équations (10 bis) et de leurs produits deux à deux. Ces dix derniers existent réellement ; mais ils ne sont pas indépendants des quatre invariants de la première sorte puisqu’on peut les en déduire par le procédé du n^o 245. Il pourrait donc y a voir trois invariants nouveaux.

Il ne pourra pas y avoir plus de onze invariants de la troisième sorte dont trois proviendraient des trois couples d’équations de la forme (5 bis) (5 ter) ; six s’obtiendraient en combinant deux à deux les quatre équations (10 bis) ; deux en combinant les deux équations (10 ter) avec l’équation (10 bis) correspondante.

Sept de ces invariants sont connus ; l’un est l’invariant $\mathrm {J} ,$ du n^o 255, les six autres sont ceux qu’on déduit des quatre équations (10 bis), mais ils ne peuvent pas être regardés comme indépendants des quatre invariants de la première sorte puisqu’on peut les en déduire par le procédé du n^o 247.

Il pourrait donc y avoir quatre invariants nouveaux de la troisième sorte.

Enfin il ne peut pas y avoir plus de deux invariants de la quatrième sorte, autant que d’équations (10 ter).

L’un de ces invariants est connu, c’est celui du n^o 256 ; il pourrait encore y avoir un invariant nouveau.

Il est probable que ces invariants nouveaux, dont la discussion