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CHAPITRE XXIV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et nous avons vu alors que l’on peut satisfaire aux équations du mouvement de la manière suivante.

Les quantités

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1}-w_{1},\quad \lambda _{1}'-w_{2},\quad \sigma _{i},\quad \tau _{i}$

sont développables suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}.$ Chaque terme est périodique par rapport aux $w$ et aux $w'$ et dépend en outre des deux constantes d’intégration $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'.$

Les constantes $n_{i}$ et $n_{i}'$ sont développables suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}$ et dépendent en outre de $\Lambda _{0}$ et $\Lambda _{0}'.$

Les $\varpi _{i}$ et les $\varpi _{i}'$ sont six constantes d’intégration.

Enfin

$\Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda _{1}'+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}$

est une différentielle exacte lorsqu’on y remplace les douze variables $\Lambda ,$ $\lambda ,$ $\sigma$ et $\tau$ par leurs développements et que dans ces développements on regarde les $w$ et les $w'$ comme six variables indépendantes et les six quantités $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}',$ $x_{i}'^{0}$ comme des constantes.

Nos quantités $x_{i}$ et $y_{i}$ que je viens de définir s’expriment aisément à l’aide des douze variables $\Lambda$, $\lambda ,$ $\sigma$ et $\tau .$

On conclura que $x_{i}$ et $y_{i}$ peuvent être développés en séries procédant suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}$ ainsi que suivant les cosinus et les sinus des multiples des $w$ et des $w'\,;$ chaque coefficient dépendant en outre de $\Lambda$ et $\Lambda _{0}'.$

De plus l’expression

${\textstyle \sum }\,x_{i}\,dy_{i}$

sera une différentielle exacte si l’on regarde les $w$ et les $w'$ comme six variables indépendantes et $\Lambda _{0},$ $\Lambda _{0}',$ $x_{i}'^{0}$ comme des constantes.

Les séries ainsi obtenues, il est à peine besoin de le rappeler, ne sont pas convergentes ; elles n’ont de valeur qu’au point de vue du calcul formel, ce qui leur donne cependant une certaine utilité pratique, comme je l’ai expliqué au Chapitre VIII.

Néanmoins si l’on substitue ces développements aux $x_{i}$ et aux $y_{i}$ dans l’expression d’un invariant intégral, le résultat de cette substitution devra encore, au moins au point de vue formel, satisfaire aux conditions auxquelles doit satisfaire un invariant intégral, et c’est ce qui va me fournir le procédé de vérification sur lequel je désire attirer l’attention.