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CHAPITRE XXIV.
Je pourrai supposer que la figure
est un arc de courbe dont
les équations, variables avec le temps, sont de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}&=f_{i}(\alpha ,t)\,;&w_{i}&=f_{i}'(\alpha ,t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d4d849499c1af9ff0a7d646c17bfd3a687b4d9)
les variables
et
étant exprimées en fonctions du temps
et
d’un paramètre
qui varie de
à
quand on parcourt l’arc
tout entier. L’équation de l’arc
sera alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}&=f_{i}(\alpha ,0)\,;&w_{i}&=f_{i}'(\alpha ,0).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5e151e589805512cef14783f80de0140a10e58)
Ces conventions faites, je puis écrire
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{1}}\left({\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {dn_{i}}{d\alpha }}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,{\frac {dw_{i}}{d\alpha }}\right)\,d\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeb43d6e16631693d5a37f60e79c7b5159b9100)
d’où
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int d\alpha \,\sum \left({\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}{\frac {dn_{i}}{d\alpha }}+{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}{\frac {dw_{i}}{d\alpha }}+\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d^{2}n_{i}}{dt\,d\alpha }}+\mathrm {B} _{i}\,{\frac {d^{2}w_{i}}{dt\,d\alpha }}\right)\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa264a23679d25909ff8b4f0f4dbf23dded240c)
Or, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dt}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}},\\{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dt}}&={\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca841cab0964b68c88eed37fc3e0997fe56ae565)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}n_{i}}{dt\,d\mathrm {A} }}&=0\,;&{\frac {d^{2}w_{i}}{dt\,d\mathrm {A} }}&={\frac {dn_{i}}{d\alpha }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0632cc8733f9e3894c118c55edd01fd922255591)
d’où enfin
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int {\textstyle \sum }_{i}\left[dn_{i}\,\left({\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}+\mathrm {B} _{i}\right)+dw_{i}{\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed11d5f50b0a21eabeb59b1edf203cf2442cca0)
Si
est un invariant intégral absolu, on devra donc avoir
(4)
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(5)
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Examinons maintenant ce qui arrive dans le cas où les
et
les
sont des fonctions périodiques des
et peuvent, par conséquent,
être développés en séries trigonométriques.
Considérons d’abord l’équation (4) et soient
![{\displaystyle \mathrm {B} _{i}={\textstyle \sum }\left[b\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})+b'\cos(m_{1}w_{1}+\ldots +m_{6}w_{6})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3de01b51ed28875cde345d08daf29ad7cb87881)
les
et les
dépendant des ![{\displaystyle n_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ebb140df365bcc7a5b990ca37dfb37bd723d47)