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CHAPITRE XXIV.

L’équation des forces vives peut donc s’écrire

${\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}=\mathrm {C} .$

Reprenons, d’autre part, les équations (9) du n^o 267 et ajoutons-les, après les avoir respectivement multipliées par $n_{k}$ ; il viendra

${\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=3{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot$

Si l’on observe que

${\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {dx}{dw_{k}}}={\frac {dx}{dt}}$

(puisque ${\frac {dw_{k}}{dt}}=n_{k}$), on conclura que

${\textstyle \sum }\,\left(2x_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)=3{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot$

En comparant avec l’équation des forces vives, on trouve

${\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}={\frac {2}{3}}\mathrm {C} ,$

ce qui montre que $\mathrm {C}$ doit être homogène de degré ${\tfrac {2}{3}}$ par rapport aux $n_{k},$ ce qui pourrait se voir d’ailleurs directement. Maintenant, la valeur moyenne d’une fonction $\mathrm {U} ,$ que je représenterai par la notation $[\mathrm {U} ],$ sera nulle si $\mathrm {U}$ est la dérivée d’une fonction périodique ; on aura donc

${\textstyle \sum }\left[y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}\right]=0$

et, en rapprochant de l’équation des forces vives, on tire

${\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right]&=-\mathrm {C} ,\\\left[{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}\right]&=2\mathrm {C} ,\end{aligned}}$

d’où

${\frac {\left[\sum {\dfrac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}\right]}{\left[-\mathrm {V} \right]}}=-{\frac {1}{2}}\cdot$

C’est le théorème de Jacobi.

(Ce théorème s’appelle généralement le théorème du Viriel ; Henri Poincaré le désigne d’ailleurs ainsi dans ses Leçons sur les hypothèses cosmogoniques.)