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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

suivantes

(4 bis)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {B} _{i}}{dw_{k}}}=0,$

(5 bis)

${\textstyle \sum }_{k}n_{k}\,{\frac {d\mathrm {A} _{i}}{dw_{k}}}=3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}-\mathrm {B} _{i}.$

Les $\mathrm {A}$ et les $\mathrm {B}$ doivent être des fonctions périodiques des $w.$

Si nous traitons les équations (4 bis) et (5 bis) comme nous avons traité les équations (4) et (5), nous reconnaîtrons :

1^o Que les $\mathrm {B} _{i}$ sont indépendants des $w\,;$

2^o Que les $\mathrm {A} _{i}$ sont indépendants des $w\,;$

3^o Que

$3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}=\mathrm {B} _{i}.$

On trouve donc, en définitive,

${\textstyle \sum }(2x\,dy+y\,dx)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dn_{i}+3\sum {\frac {d\mathrm {C} }{dn_{i}}}\,dw_{i},$

les $\mathrm {A} _{i}$ dépendant des $n_{i}$ seulement.

En d’autres termes, les expressions

${\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dn_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dn_{k}}}\right)$

ou

(8)

${\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\xi _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\xi _{k}}}\right)$

ne dépendent pas des $w$ et sont fonctions seulement, soit des $\xi ,$ soit des $n,$ suivant qu’on exprime tout en fonction des $\xi$ et des $w,$ ou en fonction des $n$ et des $w.$

De même, on aura

(9)

${\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=3\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot$

Les $x_{i},$ les $y_{i}$ et $\mathrm {C}$ sont, comme je l’ai dit, développés suivant les puissances de $\mu$ et des $x_{i}'^{0}.$ Les expressions (8) et les deux membres des égalités (9) sont donc aussi développables suivant les puissances de ces quantités.

Tous les termes des développements des expressions (8), sui-