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CHAPITRE XXIV.
plus à faire varier les
c’est-à-dire la direction du grand axe de
l’orbite. Nous pouvons donc choisir des axes particuliers et faire
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\xi =a\left[-{\frac {3}{2}}e+{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe){\frac {\cos pw}{p}}\right],\\x_{2}&=\eta =a{\sqrt {1-e^{2}}}\left[{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe){\frac {\sin pw}{p}}\right],\\x_{3}&=\zeta =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66510f9d2d017a3fd510726880e6e06020b45e29)
Les fonctions
sont les fonctions de Bessel ; sous le signe
l’indice
prend toutes les valeurs entières depuis
jusqu’à
à l’exception de la valeur ![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
Nous déduirons de là
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y_{1}&=&-&\mu an{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe)\sin pw\\y_{2}&=&&\mu an{\sqrt {1-e^{2}}}{\textstyle \sum }\,\mathrm {J} _{p-1}(pe)\cos pw.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f2ce159b672e5573bde413ddee666bfd6c0397)
L’expression
devient alors, en supprimant le facteur commun ![{\displaystyle \mu a^{2}n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95846b11b7417025af00049a57ed4fc9e5f443d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}3e{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\cos pw-2{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}{\frac {\cos pw}{p}}{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\cos pw+\left[{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}\sin pw\right]^{2}&\\-2(1-e^{2}){\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}{\frac {\sin pw}{p}}{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}p\sin pw+(1-e^{2})\left[{\textstyle \sum }\mathrm {J} _{p\!-\!1}\cos pw\right]^{2}&=\mathrm {W} '\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0205cc8d9b27fc73a8748628aa22a4f7f2f21732)
J’ai écrit partout, pour abréger un peu,
au lieu de ![{\displaystyle \mathrm {J} _{p-1}(pe).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfae65e69e67132dc586528c67cc5b7bb054e157)
On doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {W} =3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e59eb9be35f0fddf626b4ba96eab918334f8b7)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} &=-{\frac {m\mu }{2a}},&n^{2}a^{3}&=m,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c317bdbc62318de43b91834df4906ae02ef9d43a)
désignant la masse du Soleil plus celle de la planète ; on a donc
![{\displaystyle \mathrm {C} =-{\frac {\mu }{2}}m^{\frac {1}{2}}n^{\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2852173cdad939b1054b4831130388b3754354b9)
et
![{\displaystyle 3{\frac {d\mathrm {C} }{dn}}=-\mu m^{\frac {2}{3}}n^{-{\frac {1}{3}}}=-\mu a^{2}n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c924e8216c4d33cdbc50174f00d7095b5542ae30)
Mais, comme
![{\displaystyle \mathrm {W} =\mu a^{2}n\mathrm {W} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3016ff006cffc580ad781bc856970b954d408d0b)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {W} '=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbccb018406d3728f622009ff09219784924262)