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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

Cette expression doit se réduire à une constante indépendante de $w$ et, comme nous avons trois relations analogues que l’on obtient en faisant $k=1,\,2,\,3,$ nous pouvons écrire

${\begin{aligned}y_{3}x_{2}-y_{2}x_{3}&=\mathrm {const.} \\y_{1}x_{3}-y_{3}x_{1}&=\mathrm {const.} \\y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}&=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

Mais ce n’est pas là un résultat nouveau ; ce sont les équations des aires.

Examinons maintenant l’expression

$\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{d\omega _{k}}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{d\omega _{k}}}\right)\cdot$

Voyons comment les $x$ et les $y$ dépendent de $a.$ Les $x$ contiennent $a$ en facteur et les $y$ contiennent $an,$ car on a

$y_{i}=\mu \,{\frac {dx_{i}}{dt}}=\mu \,n\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\cdot$

On a donc

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{da}}&={\frac {x_{i}}{a}}\,;&{\frac {dy_{i}}{da}}&={\frac {y_{i}}{a}}+{\frac {y_{i}}{n}}{\frac {dn}{da}}\cdot \end{aligned}}$

Notre expression devient donc

${\textstyle \sum }\,x_{i}y_{i}\left({\frac {3}{a}}+{\frac {2}{n}}{\frac {dn}{da}}\right)\cdot$

Il est aisé de vérifier qu’elle est nulle ; on a en effet, d’après la troisième loi de Képler,

$n^{2}a^{3}=\mathrm {const.} ,$

d’où

${\frac {2\,dn}{n}}+{\frac {3\,da}{a}}=0.$

Nous n’obtenons pas encore ainsi un procédé nouveau de vérification.

Il reste à examiner les deux expressions

${\begin{aligned}\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dw}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dw}}\right)&=\mathrm {W} ,\\\sum \left(2x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{de}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{de}}\right)&=\mathrm {E} .\end{aligned}}$

Nous n’avons plus à faire varier que $e$ et $w\,;$ nous n’aurons donc