. DÉMONSTRATION DE DIRICHLET 273 s'il était valable sur la surface, on aurait : C'est ce qu'il s'agit de démontrer. 149. Nous allons considérer U et W comme des fonctions de r, en regardant pour un instant G et «ç. comme des cons- tantes et en donnant à r des valeurs réelles ou imaginaires. Lorsque r est réel et inférieur à 1, nous venons de voir que ces fonctions sont développables en séries procédant suivant les puissances croissantes de r ; le rayon de conver- gence est donc au moins égal à I. Nous allons chercher si les développements sont encore valables lorsque le module de r est égal à 1. Nous sommes donc conduits à nous poser la question sui- vante : Etant donnée une fonction \Y (>') holomorphe à l'intérieur d'un cercle de rayon 1 et développable, par conséquent, sui- vant les puissances croissantes de r pour | )* | < 1, quelle est la condition pour que le développement soit encore va- lable sur la circonférence de rayon 1 elle-même, c'est-à-dire pour: <{/ étant réel ? Soit donc: J'observe d'abord que, si sur la circonférence W est rilQl'AUATIOX DE I.A rilAI.KlII. 18
