FONCTIONS HARMONIQUES 291 Celte dernière racine rendrait 9 (»•). n infinie pour /• = o. Soient: 9„ et 9, les solutions de l'équation différentielle correspondant respectivement aux deux racines de l'équa- tion déterminante : la solution générale sera : mais, pour qu'elle reste finie pour r — o, il faut que l'on ait: 163. Les fonctions 9 (r) qui figurent dans le développe- ment de U sont des fonctions de n et de h; la condition : pour r = i, donnera donc une relation entre H et k. A chacune des fonctions U, que nous avons définies dans le problème du refroidissement d'un corps quelconque, cor- respond une valeur bien déterminée de k ; et, d'après ce qui précède, on ne pourra, en général, trouver qu'un nombre fini de valeurs de « correspondant à cette valeur de k ; la fonction U se réduira alors à un nombre fini de termes: chacun de ces termes satisfera d'ailleurs aux conditions imposées aux fonctions U. En résumé, on voit que les fonc- tions U relatives à la sphère sont des combinaisons de termes de la forme ©n. Si, pour chaque valeur de n, nous considérons 2»'-f - 1 polynômes fondamentaux, si nous leur associons les fonc- tions o correspondant à cette valeur de n et à des valeurs
