THÉORÈME D'ABEL 71 chaque terme est une fonction continue, et la série éprouve en ces points une discontinuité ; mais on peut se demander si la convergence est uniforme pour les valeurs autres que ces valeurs singulières. Pour traiter cette question, rappe- lons un théorème d'Abel. 43. Théorème d'Abel. — On considère une série : que l'on suppose convergente ou simplement oscillante. Si la série est convergente : quel que soit p, quand n croît indéfiniment; on peut donc prendre n assez grand pour que : p„ étant une quantité aussi petite que l'on voudra. Dans le cas d'une série oscillante, on peut écrire la mémo inégalité; mais p„ ne représente plus une quantité infini- ment petite ; mais c'est une quantité finie. Considérons une suite de nombres positifs décroissants et tendant vers zéro : je dis que la série : est convergente. Pour le démontrer, nous allons chercher une limite supé- rieure du reste.
