Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/100

86

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

expression qui satisfait aux équations du mouvement. Par conséquent, dans le cas général, $\xi$ peut être considéré comme le déplacement résultant de deux mouvements se propageant par ondes sphériques, à partir du centre $\mathrm {O} ,$ l’un avec une vitesse $\mathrm {V} ,$ l’autre avec une vitesse $-\mathrm {V} .$ Le facteur ${\frac {1}{r}}$ qui entre dans l’expression de $\xi$ montre que le mouvement s’affaiblit quand on s’éloigne du centre d’ébranlement.

Les deux dernières équations des mouvements transversaux nous donneraient pour $\eta$ et $\zeta$ des expressions analogues à celle que nous venons de trouver pour $\xi .$

69. Quand on se donne les valeurs initiales des composantes des vitesses, le mouvement est complètement déterminé et on peut trouver les fonctions $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}.$ Supposons qu’au temps $t=0$ nous ayons

$\xi =\varphi \left(r\right),\qquad \qquad {\frac {d\xi }{dt}}=\psi \left(r\right).$

En faisant $t=0$ dans l’expression de $\xi ,$ et en égalant à la valeur donnée $\varphi \left(r\right),$ nous obtenons la relation

(1)

$r\varphi (r)=\mathrm {F} (r)+\mathrm {F} _{1}(r).$

La dérivée de $\xi$ par rapport au temps est

${\frac {d\xi }{dt}}=-\mathrm {V} {\frac {\mathrm {F} '(r-\mathrm {V} t)}{r}}+\mathrm {V} {\frac {\mathrm {F} '_{1}(r+\mathrm {V} t)}{r}}\,;$

sa valeur pour $t=0$ se réduit à

${\frac {d\xi }{dt}}=-\mathrm {V} {\frac {\mathrm {F} '(r)}{r}}+\mathrm {V} {\frac {\mathrm {F} '_{1}(r)}{r}}.$