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PRINCIPE DE HUYGHENS

Calculons ${\frac {d\xi }{dx}}\cdot$ Pour cela donnons à $x$ un accroissement $dx$ en conservant à $y,$ à $z,$ à $t,$ et par conséquent à $r$ leurs valeurs cela revient à donner à la sphère une translation $dx$ parallèle à l’axe des $x.$ Il en résultera pour $x'$ un accroissement $dx,$ tandis que $y',$ $z',$ $d\omega$ et $r$ conserveront la même valeur. L’accroissement de $\mathrm {F} (x',y',z')$ sera ${\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}dx,$ et on aura

$d\xi =\int {\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}\,dx\,{\frac {d\omega }{r}}\cdot$

Comme l’accroissement de $x'$ est le même pour tous les éléments de l’intégrale, on peut mettre $dx$ en facteur, et en divisant les deux membres de l’égalité par cette quantité, on obtiendra

${\frac {d\xi }{dx}}=\int {\frac {d\mathrm {F} }{dx'}}{\frac {d\omega }{r}}\cdot$

En dérivant une seconde fois par rapport à $x,$ on aura, pour la dérivée seconde,

${\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}=\int {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx'^{2}}}{\frac {d\omega }{r}}\cdot$

Le même raisonnement conduirait aux expressions

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}&=\int {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy'^{2}}}{\frac {d\omega }{r}},\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&=\int {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dz'^{2}}}{\frac {d\omega }{r}},\\\end{aligned}}$