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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

pour les dérivées secondes de $\xi$ par rapport à $y$ et à $z.$ En faisant la somme de ces dérivées secondes, on aura

(3)

$\Delta \xi =\int \Delta \mathrm {F} \left(x'\,y'\,z'\right){\frac {d\omega }{r}}\cdot$

71. Cherchons maintenant la dérivée seconde de l’intégrale (2) par rapport au temps. Si nous donnons au temps $t$ un accroissement $dt$ sans faire varier $x,$ $y,$ $z,$ le centre de la sphère ne changera pas, mais son rayon subira un accroissement :

$dr=\mathrm {V} dt.$

L’élément de surface $d\omega$ deviendra $d\omega '.$ On peut faire disparaître $d\omega$ de l’intégrale en introduisant l’angle solide $d\sigma$ sous lequel cet élément est vu du centre de la sphère ; on a

$d\omega =r^{2}d\sigma ,$

d’où

${\frac {d\omega }{r}}=r\,d\sigma .$

Par conséquent, l’intégrale devient

(4)

$\xi =\int \mathrm {F} (x'\,y'\,z')\,r\,d\sigma ,$

et comme $r$ est le même pour tous les éléments de l’intégrale, on peut écrire

$\xi =r\int \mathrm {F} (x'\,y'\,z')\,d\sigma .$

Si donc $r$ subit un accroissement $dr,$ l’accroissement $d\xi$ qui en résultera pour $\xi$ sera

$d\xi =dr\int \mathrm {F} \,d\sigma +r\,d.\int \mathrm {F} \,d\sigma ,$