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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

tégrales (4) étaient exactement nulles à l’intérieur de $\mathrm {S} .$ Elles seront donc sensiblement remplies si ces intégrales sont sensiblement nulles à l’intérieur de $\mathrm {S} .$

Nous avons donc à démontrer d’abord que les intégrales (4) sont sensiblement nulles à l’intérieur de $\mathrm {S}$ et pour cela à donner une méthode pour calculer approximativement ces intégrales. C’est ce que nous ferons dans le paragraphe suivant.

Nous établirons ensuite que si $\xi _{0},\,\eta _{0},\,\zeta _{0}$ sont définis par les formules (4) on a très sensiblement

$\Theta _{0}={\frac {d\xi _{0}}{dx}}+{\frac {d\eta _{0}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{0}}{dz}}=0.$

Remarquons en passant que les intégrales (4) représentent à l’intérieur et à l’extérieur de $\mathrm {S}$ deux fonctions différentes qui ne sont pas la continuation analytique l’une de l’autre. Cela tient à la discontinuité du potentiel d’une simple ou d’une double couche. Aussi les intégrales de Fresnel qui rendent compte des phénomènes optiques qui se passent à l’extérieur de la sphère $\mathrm {S} ,$ ne représentent pas les phénomènes qui se passent à l’intérieur de cette sphère. C’est là l’explication des anomalies signalées par Poisson.

86. Calcul des intégrales (4). Nous allons chercher à calculer approximativement la première intégrale (4) que nous écrirons

(5)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ,$

en posant pour abréger

(6)

$\mathrm {X} =\mathrm {X} _{2}\left[i\alpha \left(1+\cos \psi \right)-{\frac {\cos \psi }{r}}\right]$