Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/146

132

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

et enfin, par une dernière transformation,

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}e^{i\alpha b}}{2\pi b}}\int e^{i\alpha \left(r-b\right)}\,d\omega .$

94. Cherchons la valeur de cette dernière intégrale. Nous avons dans le triangle $\mathrm {MOP}$ (fig. 9),

$r^{2}=\left(a+b\right)^{2}+a^{2}-2a\left(a+b\right)\cos \theta \,;$

et comme nous n’avons à considérer que des points voisins du pôle $\mathrm {Q}$ pour lesquels $\theta$ est très petit, nous pouvons remplacer $\cos \theta$ par les deux premiers termes $1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$ de son développement ; nous aurons

$r^{2}=\left(a+b\right)^{2}+a^{2}-2a\left(a+b\right)\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\right),$

ou

$r^{2}=\left(a+b-a\right)^{2}+a\left(a+b\right)\theta ^{2}=b^{2}+a\left(a+b\right)\theta ^{2}.$

En désignant par $s$ l’arc de grand cercle $\mathrm {QM}$ compris entre un point $\mathrm {M}$ de la sphère et le pôle $\mathrm {Q} ,$ nous aurons,

$\theta ={\frac {s}{a}}\,;$

et en portant cette valeur de $\theta$ dans l’expression de $r^{2},$ il viendra

$r^{2}=b^{2}+{\frac {a+b}{a}}s^{2}.$

On tire de là,

$r-b={\frac {a+b}{a\left(r+b\right)}}s^{2}.$