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DIFFRACTION
Mais
différant très peu de
on peut remplacer
par
de sorte que l’on a
![{\displaystyle r-b={\frac {a+b}{2ab}}s^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0197540ed71afbdae444af2ce46ea3ea8e4be84)
Cette valeur de
portée dans l’expression de
donne
![{\displaystyle \xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}e^{i\alpha b}}{2\pi b}}\int e^{i\alpha {\frac {a+b}{2ab}}s^{2}}\,d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215768a6d1a3abe2747f14eaf2703a5b96194e6c)
L’intégrale ne devant être étendue qu’aux portions de la sphère avoisinant le point
on peut considérer ces portions comme situées dans le plan tangent à la sphère en
Prenons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires se coupant en
Dans ce système les coordonnées du point
seront les distances
et
de ce point aux axes. Pour simplifier l’expression de
nous définirons la position du point
par deux paramètres
et
tels que
![{\displaystyle l=u{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}},\qquad \qquad l'=v{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8611d1ad0f39cbe09344bc9b9f1f38eca2e395b)
On a alors,
![{\displaystyle s^{2}=l^{2}+l'^{2}=\left(u^{2}+v^{2}\right){\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c612d677730b9724faecb0ff28875f5c2302e421)
et
![{\displaystyle d\omega =dl.dl'=du\,dv\,{\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1842dd5936232ce7e378835f6287d6fbe0cb27ab)
En portant ces valeurs de
et de
dans l’expression de
nous aurons après simplifications,
![{\displaystyle \xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}a\lambda e^{i\alpha b}}{4\pi \left(a+b\right)}}\int e^{{\frac {1}{4}}i\alpha \lambda \left(u^{2}+v^{2}\right)}\,du\,dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ddfbf98e20ab8ba9cdcbcff9991bd422cded8e)