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DIFFRACTION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

La première de ces intégrales a pour valeur $1+i$ dont le module est ${\sqrt {2}}\,;$ de sorte que nous n’avons à nous occuper que de la seconde qui devient, lorsqu’on y remplace l’exponentielle par les fonctions trigonométriques,

(3)

$\int _{+v_{1}}^{+v_{2}}e^{\frac {i\pi v^{2}}{2}}\,dv=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv+i\int _{v_{1}}^{v_{2}}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv.$

97. Représentation graphique de l’intégrale (3). — Les deux intégrales du second membre sont connues sous le nom d’intégrales de Fresnel ; nous allons les étudier. Pour simplifier les calculs, nous supposerons nulle la limite inférieure de ces intégrales ; il sera facile ensuite de passer au cas général où les limites sont quelconques en faisant la somme algébrique de deux intégrales dont une des limites est $0.$

Posons donc

${\begin{aligned}x&=\int _{0}^{v}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv,\\[1.5ex]y&=\int _{0}^{v}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv,\\\end{aligned}}$

et construisons la courbe lieu des points de coordonnées $x$ et $y.$ Elle passe par l’origine des coordonnées, car on a $x=y=0$ pour $v=0.$ Si on change $v$ en $-v,$ l’élément des intégrales ne change pas, mais la limite supérieure change