de signe et et changent à la fois de signe ; l’origine est donc un centre de symétrie de la courbe.
Prenons les différentielles de et de nous avons
En élevant au carré et additionnant, nous obtenons
donc
étant un élément d’arc de la courbe. En intégrant les deux membres de cette égalité et en prenant pour constante d’intégration, ce qui revient à compter les arcs à partir de l’origine puisque pour on a
Le rapport de donne la tangente de l’angle formé par l’axe des et la tangente à la courbe au point en désignant par cet angle on a
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Le rayon de courbure en un point est donné par
à l’origine, c’est-à-dire pour le rayon de courbure est