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DIFFRACTION

Posons

$u=\rho \cos \varphi ,\qquad \qquad v=\rho \sin \varphi .$

On aura

$\rho ^{2}=u^{2}+v^{2}$

et comme $u$ et $v$ sont proportionnels aux distances d’un point du plan tangent en $\mathrm {Q}$ à deux axes rectangulaires passant par $\mathrm {Q} ,\rho$ sera proportionnel à la distance de ce point à $\mathrm {Q} .$ Par conséquent, si nous prenons comme coordonnées $\rho$ et $\varphi ,$ les bords de l’écran auront pour $\rho$ une valeur constante $a.$ Le produit $du\,dv$ proportionnel à la surface d’un élément devient dans ce système de coordonnées $\rho \,d\rho \,d\varphi \,;$ par conséquent l’intégrale qui donne l’intensité est

(2)

$\int _{a}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{{\frac {i\pi }{2}}\rho ^{2}}\rho \,d\rho \,d\varphi .$

En intégrant par rapport à $\varphi ,$ on a :

(3)

$2\pi \int _{a}^{\infty }e^{{\frac {i\pi }{2}}\rho ^{2}}\rho \,d\rho ;$

et en faisant l’intégration par rapport à $\rho ,$ on obtient

$2\pi \left[{\frac {1}{i\pi }}e^{{\frac {i\pi }{2}}\rho ^{2}}\right]_{a}^{\infty }=-2i\left[e^{{\frac {i\pi }{2}}\rho ^{2}}\right]_{a}^{\infty }$

Pour la limite $\rho =\infty ,$ la valeur de l’exponentielle imaginaire est indéterminée. Nous prendrons pour cette valeur zéro, car