Les premières recherches théoriques entreprises dans le but d’expliquer la marche de la lumière dans les milieux biréfringents sont dues à Huyghens ; elles ne s’appliquaient qu’aux cristaux uniaxes. Elles furent reprises par Young, mais ce dernier, pas plus que Huyghens, ne parvint à une véritable explication du phénomène. C’est à Fresnel qu’était réservée la gloire de trouver l’explication mathématique des lois de la double réfraction dans les cristaux uniaxes et biaxes.
Les travaux de Fresnel ouvraient une voie nouvelle aux recherches des mathématiciens. Cauchy, Lamé, Neumann, Mac-Cullagh et tout récemment MM. Sarrau et Boussinesq, partant de considérations différentes, édifièrent un certain nombre de nouvelles théories.
Nous étudierons successivement ces diverses théories. Auparavant, nous déduirons des équations des petits mouvements dans un milieu élastique, l’existence d’une surface du second degré qui joue un rôle capital dans cette étude et dont l’introduction dans la science est due à Cauchy ; nous voulons parler de l’ellipsoïde de polarisation.
145. — Transformation des équations du mouvement. — Par un choix convenable de l’unité de masse, la densité d’une molécule d’un milieu élastique peut devenir égale à 1. Dans ces conditions, les équations générales du mouvement établies au no 32 deviennent
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=-\sum {\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=-\sum {\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\eta '_{x}}}\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=-\sum {\frac {d}{dx}}\cdot {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\zeta '_{x}}}\cdot \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cc0bcef550eda02b400484b48a3263ede907cc)
