Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/233

219

DOUBLE RÉFRACTION

Cherchons à satisfaire à ces équations par les valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ de la forme,

(2)

${\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} e^{\mathrm {P} },&\eta &=\mathrm {B} e^{\mathrm {P} },&\zeta &=\mathrm {C} e^{\mathrm {P} }.\end{aligned}}$

où l’on a,

$\mathrm {P} ={\frac {2i\pi }{\lambda }}(\alpha x+\beta y+\gamma z-\mathrm {V} t).$

Nous aurons ainsi un mouvement se propageant par ondes planes normales à la droite ayant pour cosinus directeurs $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma .$ En remplaçant dans les équations du mouvement les dérivées partielles de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ par leurs valeurs tirées des égalités (2), on obtiendra trois équations de condition entre les quantités $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ et la vitesse de propagation $\mathrm {V}$ du mouvement. Il est possible de mettre ces équations sous une forme simple.

Les dérivées partielles du premier ordre de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ par rapport aux coordonnées $x,\,y,\,z$ contiennent toutes en facteur la quantité ${\frac {2i\pi }{\lambda }}e^{\mathrm {P} }.$ Ainsi, on a

$\xi '_{x}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\alpha \mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\qquad \quad \xi '_{y}={\frac {2i\pi }{\lambda }}\beta \mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\,\dots$

Par conséquent $\mathrm {W} _{2}$, qui est une fonction homogène du second degré de ces dérivées partielles, contiendra en facteur $\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }.$ Si donc nous posons,

$\mathrm {W} _{2}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {2i\pi }{\lambda }}\right)^{2}e^{2\mathrm {P} }\Pi ,$

$\Pi$ sera un polynôme homogène et du second degré par rapport à $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C}$ et par rapport à $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma .$