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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Quant à la dernière intégrale nous la transformerons d’une manière analogue en nous appuyant sur l’égalité connue

$\iiint {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,d\tau =\iint \alpha \mathrm {F} \,d\omega ,$

et en posant

$\mathrm {F} =\Lambda \,\delta \xi .$

Nous obtiendrons

$\iiint \Lambda {\frac {d}{dx}}\delta \xi \,d\tau =\iint \alpha \Lambda \,\delta \xi \,d\omega -\iiint {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau ,$

ou, puisque d’après nos conventions l’intégrale double est nulle,

$\int \Lambda \,\delta \xi '_{x}\,d\tau =-\int {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau .$

Par conséquent l’équation (1) peut s’écrire

$\int \delta \xi \,d\tau \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}+\int \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi \,d\tau +\int {\frac {d\Lambda }{dx}}\,\delta \xi \,d\tau =0,$

ou

$\int \left(\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}+{\frac {d\Lambda }{dx}}\right)\delta \xi \,d\tau =0.$

Puisqu’elle doit être satisfaite quel que soit $\delta \xi ,$ le coefficient