Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/245

231

DOUBLE RÉFRACTION

$\delta \eta =\delta \zeta =0.$ Dans ce cas, $\delta \mathrm {U}$ peut, comme nous l’avons déjà vu (29), être remplacé par la somme

$\delta \mathrm {U} =\int \mathrm {P} _{x}\,\delta \xi \,d\omega +\int \delta \mathrm {W} \,d\tau ,$

$\mathrm {P} _{x}$ étant la composante suivant l’axe des $x$ de la pression qui s’exerce sur un élément $d\omega$ de surface $\mathrm {S} ,$ et qui résulte des actions des molécules de $\mathrm {R} '$ sur celles de $\mathrm {R} .$ L’équation précédente, en y faisant $\delta \eta =\delta \zeta =0$ et en remarquant que l’on a $\Theta =\xi '_{x}+\eta '_{y}+\zeta '_{z},$ devient alors

(1)

$\int \mathrm {P} _{x}\,\delta \xi \,d\omega +\int \delta \mathrm {W} \,d\tau -\int \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\,\delta \xi \,d\tau +\int \Lambda \,\delta \xi '_{x}\,d\tau =0.$

Nous devrons, comme nous l’avons fait au [[Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/49#par030|n^o 30]], transformer les intégrales du premier membre de manière à ce qu’elles ne contiennent plus de termes en $\delta \xi '_{x}.$ Dans cette transformation nous obtiendrons des intégrales doubles étendues à la surface $\mathrm {S}$ et des intégrales triples étendues au volume $\mathrm {R} .$ Les intégrales doubles n’entrant pas dans les équations du mouvement, nous abrégerons la recherche de ces équations en n’introduisant pas ces intégrales dans nos calculs, ce qui peut se faire en supposant qu’on étend les intégrales triples à tout l’espace et qu’à l’infini les forces élastiques sont nulles.

Dans ces conditions, la première intégrale de l’équation précédente disparaît, et nous avons pour la valeur de la seconde

$\int \delta \mathrm {W} \,d\tau =-\int \delta \xi \,d\tau \sum {\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '_{x}}}\cdot$