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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

${\frac {d\xi ^{2}}{dy^{2}}}\,;$ 3^o les termes rectangles tels que ${\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\eta }{dy}}\,;$ 4^o le terme ${\frac {d\xi }{dy}}{\frac {d\eta }{dx}}$ et ceux qu’on en déduit par permutation.

Dans les corps isotropes et les corps cristallisés du système cubique, tous les termes d’un même groupe ont le même coefficient. En effet, dans ces corps les trois directions des axes de coordonnées jouent le même rôle ; par conséquent, nous pouvons permuter deux des axes ou les trois axes sans changer $\mathrm {W} _{2},$ c’est-à-dire que $\mathrm {W} _{2}$ doit conserver la même valeur quand on y permute, par exemple, $x$ et $y,$ $\xi$ et $\eta .$ Pour qu’il en soit ainsi il faut que les coefficients des termes ${\frac {d\xi ^{2}}{dx^{2}}},$ ${\frac {d\eta ^{2}}{dy^{2}}},$ ${\frac {d\zeta ^{2}}{dz^{2}}}$ soient les mêmes : par suite, les termes du premier groupe entrent dans la fonction $\mathrm {W} _{2}$ par leur somme :

${\frac {d\xi ^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d\eta ^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {d\zeta ^{2}}{dz^{2}}}.$

Comme il en est de même pour les termes des trois autres groupes, la fonction $\mathrm {W} _{2}$ est la somme de quatre polynômes, homogènes et du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles, multipliés respectivement par des coefficients numériques. Ces quatre polynômes sont :

${\begin{array}{c}{\xi '}_{x}^{2}+{\eta '}_{y}^{2}+{\zeta '}_{z}^{2}\\[1.5ex]{\xi '}_{y}^{2}+{\xi '}_{z}^{2}+{\eta '}_{x}^{2}+{\eta '}_{z}^{2}+{\zeta '}_{x}^{2}+{\zeta '}_{y}^{2}\\[1.5ex]\xi '_{x}\eta '_{y}+\xi '_{x}\zeta '_{z}+\eta '_{y}\zeta '_{z}\\[1.5ex]\xi '_{y}\eta '_{x}+\xi '_{z}\zeta '_{x}+\eta '_{z}\zeta '_{y}\\[1.5ex]\end{array}}$