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RÉFLEXION

L’existence d’une pareille couche de passage semblera plus naturelle que l’hypothèse d’un changement brusque dans la nature du milieu, elle nous débarrasse d’ailleurs de toutes les difficultés relatives au principe de continuité.

Ceci posé, cherchons à satisfaire aux équations du mouvement en faisant :

$\xi =\mathrm {X} e^{i(ax+bt)},\qquad \eta =\mathrm {Y} e^{i(ax+bt)},\qquad \zeta =\mathrm {Z} e^{i(ax+bt)},$

$\mathrm {X,\,Y}$ et $\mathrm {Z}$ étant des fonctions imaginaires de $z$ seulement. Alors $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ seront aussi des fonctions imaginaires dont les parties réelles représenteront les véritables déplacements des molécules d’éther, conformément à la convention faite plus haut.

Les équations du mouvement deviennent alors

${\begin{aligned}-\rho b^{2}\mathrm {X} &=\mathrm {X} ''-ia\mathrm {Z} ',\\[1.5ex]-\rho b^{2}\mathrm {Y} &=-a^{2}\mathrm {Y} +\mathrm {Y} '',\\[1.5ex]-\rho b^{2}\mathrm {Z} &=-a^{2}\mathrm {Z} -ia\mathrm {X} ',\\\end{aligned}}$

en représentant par des lettres accentuées les dérivées de $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ par rapport à $z.$

Dans chacun des deux milieux la densité $\rho$ est constante et on trouve pour l’intégrale de ces équations

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {A} e^{iz{\sqrt {\rho b^{2}-a^{2}}}}+\mathrm {A} 'e^{-iz{\sqrt {\rho b^{2}-a^{2}}}}\\[1.5ex]\mathrm {Y} &=\mathrm {B} e^{iz{\sqrt {\rho b^{2}-a^{2}}}}+\mathrm {B} 'e^{-iz{\sqrt {\rho b^{2}-a^{2}}}}\\[1.5ex]\mathrm {Z} &=\mathrm {C} e^{iz{\sqrt {\rho b^{2}-a^{2}}}}+\mathrm {C} 'e^{-iz{\sqrt {\rho b^{2}-a^{2}}}}\\\end{aligned}}$

Appelons $c$ la valeur de ${\sqrt {\rho b^{2}-a^{2}}}$ dans le premier milieu et $c'$ la valeur de ce même radical dans le second milieu.