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RÉFLEXION

Si nous posons

${\begin{aligned}{\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}}&=u,&{\frac {d\xi }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dx}}&=v,&{\frac {d\eta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dy}}&=w,\end{aligned}}$

les équations du mouvement deviennent

${\begin{aligned}\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&={\frac {dv}{dz}}-{\frac {dw}{dy}},\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&={\frac {dw}{dx}}-{\frac {du}{dz}},\\[1.5ex]\rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&={\frac {du}{dy}}-{\frac {dv}{dx}},\\\end{aligned}}$

ou :

${\begin{aligned}{\frac {du}{dz}}&=iaw+\rho b^{2}\eta ,&{\frac {dv}{dz}}&=-\rho b^{2}\xi .\end{aligned}}$

Ces équations montrent que les dérivées ${\frac {du}{dz}}$ et ${\frac {dv}{dz}}$ sont finies ; et comme la couche de passage est extrêmement mince, les valeurs de $u$ et $v$ des deux côtés de cette couche seront extrêmement peu différentes. Donc $u$ et $v$ sont des fonctions continues et par conséquent finies.

On a

${\frac {d\xi }{dz}}=v+ia\zeta ,\qquad \quad {\frac {d\eta }{dz}}=-u.$

Ainsi les dérivées de $\xi$ et de $\eta$ sont finies et par conséquent $\xi$ et $\eta$ sont continues. Comme on a d’autre part

$w=ia\eta ,$

on voit que $w$ est aussi continue.

Si l’on ajoute les trois équations du mouvement après les