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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

celles de la vibration de Fresnel, il viendra :

${\begin{aligned}\xi &={\frac {d\mathrm {Z} }{dy}}-{\frac {d\mathrm {Y} }{dz}},&u&={\frac {d\zeta }{dy}}-{\frac {d\eta }{dz}},&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {W} _{2}}{du}}\\[1.5ex]\eta &={\frac {d\mathrm {X} }{dz}}-{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}},&v&={\frac {d\xi }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dx}},&{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {W} _{2}}{dv}}\\[1.5ex]\zeta &={\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}-{\frac {d\mathrm {X} }{dy}},&w&={\frac {d\eta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dy}},&{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}&={\frac {d\mathrm {W} _{2}}{dw}}\\\end{aligned}}$

$2\mathrm {W} _{2}=au^{2}+bv^{2}+cw^{2}\ +2evw+2fuw+2guv.$

Si l’on observe qu’en tenant compte des expressions de $u$ et de $v$, on a

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{du}}={\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\zeta _{y}'}}=-{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\eta _{z}'}},\qquad {\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{x}'}}={\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\eta _{y}'}}={\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\zeta _{z}'}}=0,\;\mathrm {etc.}$

il viendra

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {d}{dy}}{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}-{\frac {d}{dz}}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dy}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{y}'}}-{\frac {d}{dz}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{z}'}},$

ou

(1)

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{x}'}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{y}'}}-{\frac {d}{dz}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi _{z}'}}\cdot$

On en déduirait par symétrie deux équations analogues pour ${\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\cdot$

Cela posé, nous allons reprendre l’hypothèse de la couche de passage que nous avons exposée plus haut (208) et montrer que cette hypothèse est équivalente à celle de Neumann.

Dans la théorie de la double réfraction on regarde les coefficients de $\mathrm {W} _{2}$ comme des constantes. Mais ici nous n’avons plus affaire à un milieu homogène. Nous devons donc regarder ces coefficients $a,$ $b,$ $c,$ $e,$ $f,$ $g$ comme variables.