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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

Cette équation déterminera $\alpha .$ Or cette quantité est évidemment indépendante du choix des axes de coordonnées, par conséquent les coefficients de cette équation en $\alpha$ sont des invariants. Le coefficient du terme en $\alpha ^{2}$ est :

$\xi '_{x}+\eta '_{y}+\zeta '_{z}.$

Nous désignerons cette nouvelle fonction isotrope par $\Theta ,$ et, comme elle entrera au second degré dans la fonction $\mathrm {W} _{2},$ nous considérerons son carré :

(25)

$\Theta ^{2}=\left(\xi '_{x}+\eta '_{y}+\zeta '_{z}\right)^{2}.$

21. Cette fonction $\Theta$ a une signification géométrique intéressante.

Le volume d’une portion du milieu élastique dans sa position d’équilibre a pour expression :

$\iiint dx\,dy\,dz.$

Par suite de la déformation du milieu, les coordonnées du centre de gravité de chaque élément du volume deviennent $x+\xi ,$ $y+\eta ,$ $z+\zeta ,$ et le volume de la portion considérée prend pour valeur :

$\iiint (dx+d\xi )(dy+d\eta )(dz+d\zeta ).$

Rappelons que, si l’on a une intégrale

$\iiint \mathrm {F} (x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

où $x,\,y,\,z$ sont des fonctions de trois nouvelles variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$