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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

Prenons les équations (38), dérivons la première par rapport à $x,$ la seconde par rapport à $y,$ la troisième par rapport à $z,$ et additionnons ; nous obtiendrons

${\begin{aligned}-\rho \left({\frac {d^{2}\xi '_{x}}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\eta '_{y}}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\zeta '_{z}}{dt^{2}}}\right)&=2\mu \left(\Delta {\frac {d\xi }{dx}}+\Delta {\frac {d\eta }{dy}}+\Delta {\frac {d\zeta }{dz}}\right)\\&+2\nu \,\left({\frac {d^{2}\Theta }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\Theta }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\Theta }{dz^{2}}}\right)\cdot \\\end{aligned}}$

Or, on a, d’après la relation (25) :

$\Theta =\xi '_{x}+\eta '_{y}+\zeta '_{z},$

par suite

$\Delta \Theta =\Delta \xi '_{x}+\Delta \eta '_{y}+\Delta \zeta '_{z}={\frac {d^{2}\Theta }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\Theta }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\Theta }{dz^{2}}},$

et

${\frac {d^{2}\Theta }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\xi '_{x}}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\eta '_{y}}{dt^{2}}}+{\frac {d\zeta '_{z}}{dt^{2}}}\cdot$

On voit donc que la somme précédente peut s’écrire :

$-\rho {\frac {d^{2}\Theta }{dt^{2}}}=2\left(\mu +\nu \right)\Delta \Theta ,$

équation différentielle à laquelle doit satisfaire la fonction $\Theta .$ Si on suppose qu’à l’origine des temps, c’est-à-dire pour $t=0,$ la fonction $\Theta$ et sa dérivée par rapport au temps sont nulles, l’équation précédente montre que la dérivée seconde est encore nulle. En dérivant cette équation, on en obtiendrait une nouvelle de laquelle on conclurait facilement que la dérivée