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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS
sont nulles pour
Par conséquent les fonctions
sont identiquement nulles. Les mouvements pour lesquels il en est ainsi sont appelés mouvements longitudinaux.
36. Remarquons que les trois relations identiques
![{\displaystyle {\frac {d\eta }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e35f8e8391203618fdfccea1a6db25ee5dc75db)
![{\displaystyle {\frac {d\zeta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dz}}=0,\qquad \quad {\frac {d\xi }{dy}}-{\frac {d\eta }{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa77d685a0ff0a71664c50576f75c2a0ad5e356)
sont les trois conditions nécessaires et suffisantes pour que la quantité
![{\displaystyle \xi \,dx+\eta \,dy+\zeta \,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5574d032414e79c300295044d9de3f5900a4d5)
soit une différentielle exacte. Dans le cas des mouvements longitudinaux, nous pouvons donc poser
![{\displaystyle \xi \,dx+\eta \,dy+\zeta \,dz=d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9fb2b6f2c4cdfeccef2093a9b9f32c23eeded2)
et alors on a :
![{\displaystyle \xi ={\frac {d\varphi }{dx}},\qquad \quad \eta ={\frac {d\varphi }{dy}},\qquad \quad \zeta ={\frac {d\varphi }{dz}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371edc3d4b5b20b47ad065902ebb7ac247ab5271)
37. Ces préliminaires établis, considérons un déplacement
Pour démontrer que le mouvement peut être considéré comme résultant de la superposition d’un mouvement longitudinal et d’un mouvement transversal, il faut montrer
que l’on peut avoir
![{\displaystyle \xi =\xi _{1}+\xi _{2},\qquad \quad \eta =\eta _{1}+\eta _{2},\qquad \quad \zeta =\zeta _{1}+\zeta _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafdea9b2a2b7e1d01fe9e93d2d6a261e61bd68c)
se rapportant à un mouvement transversal, et
![{\displaystyle \zeta _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cc977cc69332bdad0468faa74f790983a6658b)