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PROPAGATION D’UNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES

de plus elle conduit aux mêmes équations que celles qui résultent de la théorie électro-magnétique de la lumière ; c’est cette hypothèse que nous adopterons de préférence.

47. Troisième hypothèse. Elle consiste à admettre que la vitesse de propagation $\mathrm {V} _{1}$ des mouvements longitudinaux est imaginaire, c’est-à-dire que l’on a

$\mu +\nu >0.$

Cette hypothèse rend mieux compte que la première de la réflexion et de la réfraction de la lumière ; mais elle conduit à admettre que la position d’équilibre du milieu élastique n’est pas toujours stable. Si l’équilibre est stable, le second terme $\mathrm {U} _{2}$ du développement de la fonction $\mathrm {U}$ par rapport aux $\xi$ doit être négatif ou nul. Or, nous avons trouvé (13) :

$\mathrm {U} _{2}=\mathrm {U} ''_{2}+\int \mathrm {W} _{2}\,d\tau$

et, dans le cas des corps isotropes, on a (24) :

$\mathrm {W} _{2}=\lambda \mathrm {K} +\mu \mathrm {H} +\nu \Theta ^{2}.$

Si nous considérons le cas particulier où toutes les dérivées partielles $\xi '_{x},$ $\eta '_{x}$ $\dots$ sont nulles à l’exception de $\zeta '_{z},$ que nous supposerons égale à l’unité, les fonctions isotropes $\mathrm {H} ,$ $\mathrm {K} ,$ $\Theta ^{2},$ dont nous avons trouvé les valeurs, deviennent :

$\mathrm {K} =0\qquad \qquad \mathrm {H} =1\qquad \qquad \Theta ^{2}=1.$

On a donc

$\mathrm {W} _{2}=\mu +\nu \,;$