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THÉORIE ÉLASTIQUE DE LA LUMIÈRE

Considérons (fig. 1) un petit parallélipipède $\mathrm {ABCDEFGH}$ rectangle dont les arêtes soient parallèles aux axes et aient respectivement pour longueur $dx,\,dy,\,dz\,:$ le volume de ce parallélipipède sera : $d\tau =dx\,dy\,dz.$ Pendant la vibration,
Fig. 1. ce parallélipipède se déplace et prend une position telle que $\mathrm {A'B'C'D'E'F'G'H'}$, il devient un parallélipipède curviligne, qui peut être assimilé, en négligeant des infiniment petits du second ordre à un parallélipipède rectiligne, mais oblique.

Posons :

${\begin{alignedat}{3}\alpha _{1}&={\frac {d\xi }{dx}},\qquad &\alpha _{2}&={\frac {d\eta }{dy}},\qquad &\alpha _{3}&={\frac {d\zeta }{dz}}\\[1.5ex]\beta _{1}&={\frac {d\eta }{dz}}+{\frac {d\zeta }{dy}}\,;\qquad &\beta _{2}&={\frac {d\zeta }{dx}}+{\frac {d\xi }{dz}}\,;\qquad &\beta _{3}&={\frac {d\xi }{dy}}+{\frac {d\eta }{dx}}\cdot \\\end{alignedat}}$

On démontre (voir le Cours d’élasticité, page 7) que les longueurs des arêtes du parallélipipède deviennent

$dx\,(1+\alpha _{1})\qquad dy\,(1+\alpha _{2})\qquad dz\,(1+\alpha _{3})$