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PRINCIPE DE HUYGHENS
Supposons que nous ayons calculé
: nous avons
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int \sigma e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8f0dd2eb87c2a1a97ebd0ed63a1e8a67d0a9bd)
Intégrons par parties en remarquant que
![{\displaystyle {\begin{array}{c}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr=-\ d{\dfrac {e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}}{{\sqrt {-1}}\,\alpha }}\\[1ex]\xi =-{\dfrac {\sigma }{4\pi }}e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}+\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \sigma 'e^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha r}\,dr.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053415e5b716eff808fb972ccc18bb1f99b20878)
où
![{\displaystyle \sigma '={\frac {d\sigma }{dr}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fff10fc28a68fcb4a2af88f44fdb55f333cfffc)
Pour calculer la valeur du terme intégré, il faut savoir
quelle est la plus petite valeur que puisse prendre
Deux cas
peuvent se présenter :
1o Le point
est sur la partie éclairée de la sphère : la
limite inférieure de
est alors
D’autre part, dans l’expression
![{\displaystyle \sigma ={\frac {\mathrm {R} }{a}}\int \mathrm {X} \,d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a34e6290d05a623bcc7deaa05d0e9b5c2227a7)
on peut regarder
comme une constante sur le cercle
et il
vient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\frac {\mathrm {R} }{a}}\mathrm {X} \int _{0}^{2\pi }\!\!d\varphi =2\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\mathrm {X} \\[1ex]&=2\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\xi '_{0}(1+\cos \psi ).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a35c10effd9fbfada6451fb2582c5aab11cc72)
Or au point
et
ce qui donne en définitive
![{\displaystyle \sigma =4\pi {\frac {\mathrm {R} }{a}}\xi '_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d357fceb9c80f1792d667779471cc32dffbcfe)