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PRINCIPE DE HUYGHENS
Quant au second facteur
il faut calculer sa valeur
au point
c’est-à-dire la valeur de
en ce point. Or
et
étant les centres de courbure principaux de la surface
au point
le point
étant très voisin de
on démontre que :
![{\displaystyle r=r_{0}+mx^{2}+ny^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f124ef524b07be4c65986f8bca4d18411df90e98)
en posant :
![{\displaystyle m={\frac {\mathrm {PC} _{1}}{2\mathrm {QP} .\mathrm {QC} _{1}}}\qquad n={\frac {\mathrm {PC} _{2}}{2\mathrm {QP} .\mathrm {QC} _{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503c130f0c4c8aa08a701f6c3b07102c270816a0)
Les segments étant pris avec leur signe ; nous conviendrons
donc de regarder
comme positif si le point
est à droite
de
comme négatif si le point
est à gauche.
Cette expression de
n’est qu’une valeur approchée, obtenue
en regardant
et
comme des infiniment petits du
premier ordre et négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur
au second.
L’expression de
prendra donc la forme :
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {-1}}\,\alpha }{4\pi }}\int {\frac {2\xi '_{0}}{r_{0}}}\,ne^{-{\sqrt {-1}}\,\alpha (r_{0}+mx^{2}+ny^{2})}dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08de89bec8082490418cb1f80bfb4970810d9786)
Posons, pour mettre les signes en évidence
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=+{\sqrt {|m|}}\\[0.75ex]\nu &=+{\sqrt {|n|}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831b306c3931f3f6c90900b019981e01d2e95714)
et
représentant les valeurs absolues de
et de ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
![{\displaystyle \mu \nu ={\sqrt {|mn|}}={\sqrt {\frac {\mathrm {PC} _{1}\,\mathrm {PC} _{2}}{4{\overline {\mathrm {QP} }}^{2}.\mathrm {QC} _{1}.\mathrm {QC} _{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc62de9374921cb98d69be1bec7f76c96450dd0)