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tout nombre situé dans $k(\vartheta )$ et, par suite aussi, en particulier le nombre est totalement positif dans $k(\vartheta )$, il y aura, d’après le théorème XLII, une représentation du nombre $-t$ par une somme de quatre carrés de certains nombres de $k(\vartheta )$ ; soit, par exemple,

(1)

$-t=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}$,

(1)

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ étant des nombres entiers ou fractionnaires de $k(\vartheta )$.

Posons

$\alpha =a_{1}\vartheta ^{m-1}+a_{2}\vartheta ^{m-2}+\cdots +a_{m}=\phi (\vartheta )$, $\beta =b_{1}\vartheta ^{m-1}+b_{2}\vartheta ^{m-2}+\cdots +b_{m}=\psi (\vartheta )$, $\gamma =c_{1}\vartheta ^{m-1}+c_{2}\vartheta ^{m-2}+\cdots +c_{m}=\chi (\vartheta )$, $\delta =d_{1}\vartheta ^{m-1}+d_{2}\vartheta ^{m-2}+\cdots +d_{m}=\rho (\vartheta )$;

ici $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m},\ldots ,d_{1},d_{2},\ldots ,d_{m}$ désignent des coeficients numériques rationnels et $\phi (\vartheta ),\psi (\vartheta ),\chi (\vartheta ),\rho (\vartheta )$ les fonctions rationnelles entières en question de degré $(m-1)$ en $\vartheta$.

En vertu de (1) on a

$1+[\phi (\vartheta )]^{2}+[\psi (\vartheta )]^{2}+[\chi (\vartheta )]^{2}+[\rho (\vartheta )]^{2}=0$

et, en ayant égard à l’irréductibilité de l’équation $f(x)=0$, on voit que l’expression

$F(x)=[\phi (x)]^{2}+[\psi (x)]^{2}+[\chi (x)]^{2}+[\rho (x)]^{2}$

représente nécessairement une fonction entière rationnelle de $x$, divisible par $f(x)$. $F(x)$ est évidemment une fonction définie de degré $(2m-2)$ ou de degré moindre, et par conséquent le quotient ${\tfrac {F(x)}{f(x)}}$ est une fonction définie de degré $(m-2)$ en $x$ ou de degré moindre, à coefficients rationnels. Par suite, en ayant égard à notre hypothèse, ${\tfrac {F(x)}{f(x)}}$ est représentable comme le quotient de deux sommes de quatre carrés de la nature indiquée dans le théorème XLIII et, comme $F(x)$ même est une somme de tels carrés, il en résulte que $f(x)$) aussi est nécessairement le quotient de deux sommes de carrés de la nature indiquée dans le théorème XLIII. Nous avons ainsi complètement démontré le théorème XLIII.

Il serait peut-être très difficile d’établir et de démontrer les propo-