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ment dans le cas où les coordonnées des points donnés sont des fonctions rationnelles à coefficients rationnels d’un paramètre $p$.

La nécessité du criterium énoncé est évidente. Pour démontrer que le criterium est suffisant, supposons-le vérifié et considérons alors parmi les $n$ racines carrées celle qui, dans l’évaluation des coordonnées du point cherché, doit être extraite la première. L’expression sous le radical en question est une fonction rationnelle $f_{1}(p)$ a coefficients rationnels du paramètre $p$ ; cette fonction rationnelle ne pourra prendre de valeurs négatives pour aucune valeur réelle du paramètre $p$ ; sinon le problème pourrait, pour certaines valeurs de $p$, avoir des solutions imaginaires, ce qui serait contraire à l’hypothèse. Il résulte donc alors du théorème XLIII que $f_{1}(p)$ est représentable par un quotient de sommes de carrés de fonctions rationnelles entières.

Maintenant les formules

${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {a^{2}+b^{2}}})^{2}+c^{2}}}$ ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}})^{2}+d^{2}}}$ .............................................................................

font voir que l’extraction de la racine carrée d’une somme d’un nombre quelconque de carrés peut toujours se ramener à l’extraction réitérée de la racine carrée d’une somme de deux carrés.

En joignant cette observation aux résultats précédents, on reconnait que l’expression ${\sqrt {f_{1}(p)}}$ peut être construite à l’aide de la règle et du transporteur de segments.

Considérons maintenant, parmi les $n$ racines carrées, celle qui dans l’évaluation des coordonnées du point cherché doit être extraite la deuxième. L’expression sous le radical dont il est alors question est une fonction rationnelle $f_{2}(p,{\sqrt {f_{1}}})$ du paramètre $p$ et de la racine carrée considérée en premier lieu ; cette fonction f₂ n’est pour aucune valeur paramétrique réelle $p$, ni pour aucun des deux signes de ${\sqrt {f_{1}}}$ susceptible de valeurs négatives, sinon le problème assigné pourrait, pour certaines valeurs de $p$, admettre parmi ses $2^{n}$ solutions des solutions imaginaires, ce qui serait contraire à l’hypothèse. De là résulte que $f_{2}$ doit vérifier une équation quadratique de la forme

$f_{2}^{2}-\varphi _{1}(p)f_{2}+\psi _{1}(p)=0$