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puisque $\varphi _{2}$ et $\psi _{2}$ d’après une remarque précédente, sont des quotients de deux sommes de carrés d’expressions que l’on sait construire, il s’ensuit qu’il en est de même de l’expression

$f_{3}={\frac {f_{3}^{2}+\psi _{2}(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{1}}})}{\varphi _{1}(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}})}}$

et que, par conséquent, ${\sqrt {f_{3}}}$ est également susceptible d’être construit au moyen de la règle et du transporteur de segments.

L’itération de cette méthode de raisonnement conduit à la démonstration du théorème XLIV dans le cas envisagé d’un paramètre.

L’exactitude du théorème XLIV dans le cas général dépend de la question de savoirs si le théorème XLIII peut être étendu d’une manière analogue au cas de plusieurs variables.

On peut, comme exemple de l’application du théorème XLIV, considérer les polygones réguliers qui sont susceptibles d’être construits a l’aide du compas. Dans ce cas, il ne se présente pas de paramètre arbitraire p, et les expressions que l’on doit construire représentent simplement toutes des nombres algébriques. On voit sans peine que le criterium du théorème XLIV est rempli et l’on reconnait, par suite que tous ces polygones réguliers peuvent être construits en se servant uniquement de la règle et du transporteur de segments, résultat que l’on pourrait d’ailleurs tirer directement de la Théorie de la division du cercle (Kreistheilung).

En ce qui concerne les autres problèmes de construction connus de la Géométrie élémentaire, je me bornerai à dire ici que le problème de Malfatti peut être résolu en ne se servant que de la règle et du transporteur de segments, tandis qu’il n’en est pas de même du problème de contacts d’Apollonius.

Conclusion^[1].

Le précédent Travail ne traite essentiellement que les problèmes de la Géométrie euclidienne, c’est-à-dire qu’il n’y est discuté que les questions qui se présentent quand on admet l’exactitude de l’axiome

1. À partir d’ici jusqu’au Tableau de la page 208, le texte est entièrement nouveau et n’existe pas dans l’édition allemande. (Le Traducteur.)