soient séparés par B, D et par B, E, ensuite que A, D soient séparés par B, E et par C, E et ainsi de suite. De cette façon, ce qui n’a pas lieu dans mon présent Mémoire, la Géométrie riemannienne (elliptique) n’est pas exclue a priori.
En se basant sur les axiomes d’association, de distribution et de congruence, c’est-à-dire sur les axiomes I, II, IV, on peut introduire de la manière connue les éléments dits ideaux (points, droites, plans idéaux). Cela fait, M. Dehn démontre le théorème suivant :
Si l’on regarde toutes les droites et tous les points (idéaux et réels) du plan, à l’exception d’une droite unique t et des points situés sur t, comme éléments d’une nouvelle Géométrie, on peut pour cette nouvelle Géométrie définir un nouveau genre de congruence de telle sorte que cette Géométrie vérifie tous les axiomes d’association, de distribution, de congruence, ainsi que l’axiome d’Euclide, la droite t dans cette Géométrie jouant le rôle de la droite de l’infini.
Cette Géométrie euclidienne imposée pour ainsi dire au plan non euclidien sera dite une pseudo-Géométrie et le nouveau genre de congruence une pseudo-congruence.
En invoquant le théorème qui précède, on peut alors introduire un calcul segmentaire relatif au plan, en s’appuyant sur les développements du Chap. III, § 15. Ce calcul segmentaire permet de démontrer l’important théorème suivant
Si dans un triangle quelconque la somme des angles est
plus grande que 2 droits
égale à 2 droits
plus petite que 2 droits
il en sera de même dans tout triangle.
Le cas où la somme des angles est égale à deux droits donne le théorème bien connu de Legendre ; mais, pour le démontrer, Legendre s’est servi de la continuité.
M. Dehn discute alors la connexion entre les trois différentes hypothèses relatives à la somme des angles et les trois différentes hypothèses relatives aux parallèles.
