C’est ainsi que, dans les Mathématiques modernes, la question de l’impossibilité de certaines solutions ou problèmes joue un rôle prépondérant et que les efforts faits pour répondre à des questions de ce genre ont été l’occasion de la découverte de domaines de recherche nouveaux et féconds. Rappelons seulement à ce propos la démonstration d’Abel de l’impossibilité de résoudre l’équation du cinquième degré au moyen de radicaux, puis la découverte de l’impossibilité de démontrer l’axiome des parallèles, enfin les théorèmes de MM. Hermite et Lindemann sur l’impossibilité de construire par la voie algébrique les nombres e et π.
Ce principe fondamental, en vertu duquel on doit partout discuter les principes de la possibilité des démonstrations, est intimement lié à la condition de la « pureté » des méthodes de démonstration qui, dans ces derniers temps, a été considérée comme de la plus haute importance par nombre de mathématiciens. Au fond, cette condition n’est pas autre qu’une conception subjective du principe fondamental suivi ici, En effet, l’étude géométrique précédente cherche, en général, à expliquer quels sont les axiomes, hypothèses ou moyens nécessaires à la démonstration d’une vérité de Géométrie élémentaire, et il ne reste plus alors qu’à juger, d’après le point de vue auquel on s’est placé, quelles sont les méthodes de démonstration que l’on doit préférer.
Pour le dessin des figures, ainsi que pour la correction des épreuves, l’aide de M. le Dr Hans von Schaper m’a été d’un grand secours ; je lui en présente ici tous mes remerciements. Je remercie aussi de même mes amis MM. Hermann Minkowski et Julius Sommer de m’avoir prêté leur concours pour corriger des épreuves.
