segments situés sur la même droite ou sur une autre droite a’, également sans points communs ; si l’on a et on aura toujours aussi .
Définition. — Soit α un plan quelconque et soient h, k deux demi-droites quelconques distinctes situées dans ce plan, issues d’un point O et appartenant à des droites distinctes. Le système formé par ces deux demi-droites nous le nommerons un angle et nous le désignerons par ou . Des axiomes II, 1-5 on peut aisément conclure que les deux demi-droites h, k, y compris le point O, séparent les points restants du plan α en deux régions jouissant de la propriété suivante : A désignant un point de l’une des régions et B un point de l’autre, toute ligne brisée qui joint A et B ou bien passe par O, ou bien a au moins un point en commun avec h ou avec k. Au contraire, A et A’ désignant des points d’une même région, il y a toujours une ligne brisée joignant A et A’ et qui ne passe ni par O ni par aucun point des demi-droites h, k. L’une de ces régions se distingue de l’autre par cette circonstance que tout segment qui joint deux points de cette région y est situé tout entier. Cette région se nomme l' intérieur de l’angle (h, k), par opposition avec l’autre qui se nomme l’extérieur de l’angle (h, k). Les demi-droites h, k sont dites les côtés de l’angle, et le point O en est dit le sommet.
IV, 4. — Soit, dans un plan α, un angle , et soit, dans un plan α', une droite a’. Supposons encore que, dans le plan α’, un côté déterminée de la droite a’ soit assigné. Désignons par h' une demi-droite prise sur la droite a’ et issue d’un point O’ de cette droite. Dans le plan α’, il existera alors une demi-droite k' et une seule, telle que l’angle (h, k) soit congruent à l’angle (h', k') et qu’en même temps tous les points à l’intérieur de l’angle (h', k') soient situés du côté assigné de a', ce que nous exprimerons par la notation
Tout angle est congruent à lui-même, c’est-à-dire que l’on a toujours
