Page:Hilbert - Les Principes fondamentaux de la géométrie, 1900, trad. Laugel.djvu/26

Si les congruences

$\angle (h,l)\equiv \angle (h',l'),\quad {\text{et}}\quad \angle (k,l)\equiv \angle (k',l')$

sont vérifiées, il en sera toujours également de même de

$\angle (h,k)\equiv \angle (h',k')$

En s’appuyant sur les théorèmes XII et XIII, on démontre le théorème très simple qui suit, théorème qu’Euclide (à tort selon moi) a mis au rang des axiomes.

Théorème XV. — Tous les angles droits sont congruents entre eux.

Démonstration. — Soit l’angle BAD (fig. 12) congruent à son

supplémentaire CAD, et de même soit l’angle B'A'D' congruent à son supplémentaire C'A'D'. Alors je dis que les angles

$\angle BAD,\quad \angle CAD,\quad \angle B'A'D',\quad \angle C'A'D'$

sont tous des angles droits.

Supposons, ce qui est le contraire de notre proposition, que l’angle droit B’A’D’ ne soit pas congruent à l’angle droit BAD et portons alors $\angle B'A'D'$ sur la demi-droite AB de telle sorte que le côté AD" provenant de cette opération tombe soit à l’intérieur de l’angle BAD, soit à l’intérieur de l’angle CAD. Supposons, par exemple, que le premier de ces cas ait lieu. À cause de la congruence des angles B'A'D' et BAD", du théorème XII résultera que l’angle C'A'D' sera aussi congruent à l’angle CAD" ; puisque les angles B'A'D' et C'A'D' doivent être congruents entre eux, l’axiome IV, 5 nous enseigne qu’alors l’angle BAD" devra être congruent à l’angle CAD" ; or, puisque $\angle BAD$ est congruent